теор. ядро-это подпространство в L1 - можно говорить о его базисе. Пусть f1...fk - базис Ker A. Вообще говоря F1,...,fk- базисом в л1 не является,тк л1 боьше КерА. Однако векторы f1...fk,g1...gs - базис в л1

Рассмотрим векторы A(g1),...,A(gs), обозначачим их t1=A(g1);... ;ts=A(gs)

докажем что t1...ts  - базис образа.

НУжно проверить ЛНЗ этих векторов. Любой вектор из образа можно разложить по базису.

1)составим лин комб альфа1*t1+...+альфаs*ts=0;

A(альфа1*g1+...+альфаs*gs)=0;

альфа1*g1+...+альфаs*gs прин. КерА, тк переводит в 0

Любой элемент из ядра раскладывается по базису, т.е. альфа1*g1+...+альфаs*gs=бета1*f1+...+бетаk*fk=0;

тк f1..fk,g2..gs-базис, то он ЛНЗ=> все коэффициенты =0 =>векторы t1...ts ЛНЗ

2)Пусть y - произвольный элемент из образа (y прин ImA). По опред. образа сущ x прин L1 Ax=y Разложим x по базису L1

x=gam1*f1+...+gamk*fk+sigm1*g1+...+sigms*gs;

y=gam1*A(f1)+gamkA(fk)+gam1*A(g1)+...+sigms*A(gs);

тк A(f1),...,A(fk)=0, тк f1..fk - лежат в ядре => 

y=sigm1*a(g1)+...+sigms*a(gs)

f1...fk - базис KerA => dimKerA=K

t1...ts - базис ImA =>dimImA=S

в процессе доказательства мы нашли способность 1)построить базис ядра f1..fk

2)дополнить до базиса в L1 g1...gs

Ag1....Ags - базис ImA