Пусть e1...en-старый e1'...en' - новый базис в L Возьмем  произвольный элемент x из L и разложим его по базисам

x=x1*e1+...+xn*en;

x=x1'*e1'+...+xn'*en';

x=(x1...xn) //Верт

x'=(x1'...xn')

сост 2 вект столбца

Теорема 

x=Pe->e'*x';

док-во:

e1'=a11*e1+...+an1*en;

...
en'=a1n*e1'+...+ann*en';

Pe->e'=(a11...a1n)

            (an1...ann)

x=x1'*e1'+...+xn'*en'=sum(j=1..n)(xj'*ej')=sum(j=1..n)*xj'*sum(i=1..n)(aij*ei)=sum(i=1..n)(sum(j=1..n)aij*xj)*ei)=x;

x=sum(i=1..n)(xi*ei)=>xi=sum(j=1..n)(aij*xj')