Если A:L1->L2 - изоморф, то dimL1=dimL2,

док-во: если А изоморфно, то он инъективер KerA={0}, dimKerA=0; он съюрьективен ImA=L2 dimImA=dimL2

0+dimL2=dimL1

если dimL1=dimL2!=0 то пространства L1 и L2 изоморфны, для док-ва нужно простр хотя бы 1 изоморфизм

Пусть e1...en - базис в L1 f1...fk - базис в L2

люб x можно разложить по базису

x=альфа1*e1+...+альфаk*ek 

A:L1->L2

A(x)=альфа*f1+...+альфа*fk

Пусть у другой элемент, тогда y=beta1*e1+...+betak*ek;

тогда x+y=(alfa1+beta1)*e1+...+(alfak+betak)*ek; по построению A(x+y)=(alfa1+beta1)*f1+...+(alfak+betak)*fk

A(y)=alfa1*f1+...+beta1*fk => A(x+y)=Ax+Ay

Пров. инъективность и суръективность KerA={0}; A(x)=alf1*f1+...+alfk*fk=0 =>alf1,...,alfk=0 и x=0; поэтому ядро состоит только из нуля (инъективно)

Пусть y прин L2, его можно разложить по базису f

y=gam1*f1+...+gamk*fk;

рассмотри элем x

x=gam1*e1+...+gamk*ek

Ax=y => L1 и L2 изоморфны

Вывод: L1 изоморфно L2, т.и т.т. когда dimL1=dimL2

Изоморфизм пространств:

1. Рn Размерность равна n+1=>оно изоморфно R^(n+1)

Pn=~R^(n+1)

построим изоморфизм

A(an*t^n+...+a1*t+a0)=(a0,an)

2.M2x2=~R^4

A((ab)/(cd))=~(abcd)