|
|
8. Матрица оператора и координаты вектора в базисе.
Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.
Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.
Выберем базис ek. Пусть x — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:
x=x^k*ek,
где xk — координаты вектора x в выбранном базисе.
Пусть A — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим Ax=x^k*A*ek.
Вектора Aek также разложим в выбранном базисе, получим
Aek=((ak)^j)*ej ,
где ak^j — j-я координата k-го вектора из Aek.
Подставим разложение в предыдущую формулу, получим
Ax=x^k*ak^j*ej=(ak^j*x^k)*e^j.
Выражение (ak^j*x^k), заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица ak^j при умножении на столбец x^k даёт в результате координаты вектора Ax, возникшего от действия оператора A на вектор x, что и требовалось получить.
|
| Категория: Мои статьи | Добавил: Eskander (14.06.2010)
|
| Просмотров: 1416
| Рейтинг: 0.0/0 |
|
|
|
