Пусть А:L1->L2 лин оператор
Теорема: сущ базисы е1...еn в L1 и f1...fm в L2, в кот матрица лин оператора имеет след вид
Построим эти базисы:
Пусть s1...sk базис KerA, доп его до базиса в L1 векторами t1...tr
Мы знаем, что A(t1)...,A(tr) базис ImA. Обозначим эти векторы V1...Vr, дополним их до базиса в L2 векторами w1...we
Т.е. v1,...,vr,w1,...,we - базиc в L2
Сформируем базисы
s1,...,sk
t1,...,tr
Обозначим
e1=t1
. .
er=tr
e(r+1)=s1 - базис в L1
. .
er=sk

f1=v1
. .
fr=vr
f(r+1)=w1 - базис в L2
. .
fm=we

Найдем матрицу оператора в этих 2 базисах:
A(e1)=A(t1)=V1=f1=1f1+0f2+...+0fr+...+0fm
.
A(er)=A(tr)=Vr=fk=1f1+...+1fr+...+0fm
A(er+1)=A(s1)=o (т.к. это ядро)
.
A(en)=A(sk)=0=0f1+...+0fm