Пусть A:L1->L2; L1 и L2 - ЛП

Ядром оператора А или нулевым пространством называют подмножество из L1, которое оператор A переводит в 0, обозначают KerA

KerA={x прин L1|Ax=0}

Образом оператора A называется множество значений оператора A, обозначается Im

ImA={y1 прин L2 | существ x прин. L1 Ax=y}

Предложение: KerA- подпр в L1, ImA- подпр в L2

Достаточно показать, что ядро и образ  замкруты относительно умножения и сложеня(не выв из ядра и образа)

Пусть x1,x2 прин ядру, доказать:x1,x2 прин. KerA

Ax1=Ax2=0

A(x1+x2)=0=Ax1=Ax2=0

A(альфа*x1)=альфа*Ax1=альфа*0=0 =>ядро замкнуто относительно +и*

образ

Пусть y1 и y2 прин. ImA, доказать, что сумма лежит в базисе

сущ x1: Ax1=y1;

сущ x2: Ax2=y2;

A(x1+x2)=Ax1+Ax2=y1+y2;=>y1+y2 лежит в образе

умножение на число:A(альфа*x1)=альфа*A(x1)=альфа*y1; слудовательно образ-подпространство

Оператор A называется инъективным, если разные элементы из L1 он переводит в разные элементы из L2

Оператор называется съюрьективным, если его множество значений совпадает с L2

y=x^3 - съюрьективно

y=x^2 - не - 

Отображение называется биэктивным, если оно одновременно инъективно и съюьективно.Линейное биэктивное отображение называется изоморфизмом. Если между L1 и L2 существует хотя бы 1 изоморфизм, то L1 и L2 наз изоморфными

зам:линейный оператор A:L1->L2 - съюрьективно, если его образ ImA=L2 или dimImA=dimL2;

предл:оператор A инъективен тогда и только тогда, когда KerA={0}

док-во: Пусть оператор A инъективен т.к.A(0)=A(0*0)=0=> ноль переходит в  ноль и никакой другой элемент в 0 переходить не может

ес А инъект то ядро =0

Пусть Ker A=0, x1!=x2 => x1-x2!=0 => не прин. ядру оператора A поэтому Ax1-Ax2=A(x1-x2)!=0, т.о. усл инъект dim KerA=0.