Множество L мы назовем линейным пространством, а его элементы - векторами, если:

1)x,y прин. L, x+y прин. L

2)x прин L, для люб. альфа, х*ал. прин L

3)Выполн. след. аксиомы:

1. для люб a,b a+b=b+a

2. для люб. a,b,c (a+b)+c= a+(b+c)

3. сущ.0: для люб.a a+0=a

4. 1*a=a

5. для люб. альфа и бета(аль*бет)f=аль(бет*a)

6. для люб. альфа альфа*(a+b)=аль*a+аль*b

7. для люб. альфа и бета (аль+бет)*a=аль*a+бет*b

8. сущ. -а :а+(-а)=0

Примеры лп:

1. R^n={(a1,...,an)ai прин R}

x=(x1,...,xn)

y=(y1,...yn)

x+y=(x1+y1,...xn+yn)

alf*x=(alf*x1,...,alf*xn)

2.{an*x^n+...+a1*x+a0|ai прин R}

3. множество всех многочленов с действ. коэф

4. Мно всех матриц разм м на н

5. мерж непр ф-й на отр

Базис ЛП

Базис-любая ЛНЗсистема векторов по котор можно разложить любой можно разложить любой вектор

a1...an- базис L, если

1)они ЛНЗ

2)для люб х сущ аль1...альN х=аль1*а1+...+альN*an

аль1...альN - координаты вектора х в базисе а1...аn 

свойства коорд векторов:

1. Координаты вектора определены единственным образом

2. Координаты суммы векторов = сумме координат векторов

3. Координаты произвведениявекторов на число = произвидению коорд на число

прим базиса Rn

е1=(1,0,0...0)

е2=(0,1,0...0)

...................

еn=(0,0...0,1)

1) ЛНЗ альфа1*е1+...+альфаN*en

...=0 ес все коэф=0

2) разложить вектор х=(х1,...х2)

х=(x1...xn)=x1e1+...+xn*en