теор. песть е1...еn- базис ЛП L,x1...xm-ЛНЗ вектора пространства L, тогда m<=n

Доказательство

x1=аль1,1*e1+...+аль1,n*en=sum(i=1...n)(аль1,i*ei)

...

...

xm=аль1,n*e1+...+альn,n=sum(i=1...n) (альi,n*ei)

c1x1+...+cmxm=sum(j=1...m)(cixi)=sum(j=1...m)(ei)*sum(i=1...n)(альi,j*ej)=sum(j=1...n)(sum(j=1...m)(альi,j*cj)*ei

sum(j=1...m)(аль1,j*cj)=аль1,1*c1+...+аль1,m*cm=0

...

...

sum(j=1...m)(альn,j*cj)=...

Система из n уравнений с m неизвестными, если m>n, тогда число неизвестных>числа уравнений => система имеет множество решений, либо ни 1 решения, однако 1 решение имеется => их бесконечное множество, то есть sum(с1...сm)!=0 такой, что c1*x1+...+cm*xm)=0, что противоп. тому, что x1...xm - ЛНЗ

следовательно все базисы состоят из 1 числа элементов, пусть существует 2 базиса

x1...xn=> m<=n

y1...yn=> n<=m   Следовательно n=m