Пусть L - ЛП. M(<L) - его подпространство. определим на L отношение эквивалентности следующим образом: x~y<=>x-y принадлежит M

Проверим:

1) x-x=0 так как М-подпространство и оно само является линейным пространством то 0 прин. М, т.о. x~x (рефл)

2)Пусть x~y =>x-y прин М, тогда y-x = -(x-y) прин. М, подпространство, умн на -1 не выводит из М(симметр)

3)Транзитивность Пусть x~y, а y~z =>x-y прин. М, y-z прин М., но М - подпространство(там есть слож и умн на число) сложим: (x-y)+(y-z) прин. L', с другой стороны (x-y)+(y-z)=x-z, след x-z прин L'.

то это отношение эквивалентности

фактор-множество по этому отношению эквивалентности называется фактор-пространством и обозначается L/M

L/~=L/M

Базис фактор-пространства.

Предложение: в конечномерном пространстве любую ЛНЗ систему векторов f1..fkможно дополнить до базиса, то есть добавить векторы g1..ge, чтобы объедененная системаявлялась базисом.

док-во:

векторы f1..fk - ЛНЗ, если это макс ЛНЗ система, то они сами являются базисом, в противном случае ими можно прибавить еще 1 ЛНЗ вектор. Добавляем ЛНЗ вектора пока это возможно. Процесс прекратится, т.к. в ЛП не может быть слишком много ЛНЗ векторов. Мы получим макс ЛНЗ систему, которая является базисом.

Пусть  L- конечномерное пространство, M - его подпространство, и пусть f1...fk - базис М. Эти векторы лежат в L, но базисом там не являются, однако они ЛНЗ, дополним их до базиса в L векторами g1...ge

Теорема:

Элементы [g1]...[ge] - базис фактор-пространства L/M

Нужно проверить 2 свойства

1) ЛНЗ векторов

2) любой элемент можно разложить по базису

Проверим 1)сост линейн. комбинацию и прир к 0 :

альфа1[g1]+...+альфае[ge]=[0];

[альфа1*g1+...+альфаe*ge]=[0];

2класса совп, следов эл-ты эквив

=>альфа1*g1+...+альфаe*ge~0

альфа1*п1+альфау*пу прин М, f1...fk - базис в М

По базису в М можно разложить любой вектор из М

альфа1*g1+...+альфаe*ge=бета1*f1+...+бетак*fk

.......=0

f1..fk,g1..ge - базис в L=> эти векторы ЛНЗ, т.е. классы [g1],...,[ge] - ЛНЗ

2) Возьмем произв элементов фактор-пространства x и разложили его по базису

x прин L

x=гамма1*f1+...+гаммак*fk+сигма1*g1+...+сигмаe*ge

так как f1...fk - базис М, то они лежат в M f1-0 прин М, для люб. и => fi~0; [fi]=0; первые k слагаемых равны 0

[x]=sigm1[g1]+...+sigme[ge];

следствие: dim L/M=dim L-dim M;

f1...fk - базис в M

[g1]...[ge] - базис в L/M f1,...fk,g1,...,ge - базис в L и т д