Рассм уравнение
Av=лямбдV
Av=лямбдI_V
(A-лямбдI)V=0; V не равно 0 =>
(A-лямбдI) не инъективный оператор, поэтому он не является изоморфизным
M^e,e_{A-лямбдI}=M^e,e_A-лямбдE - необратимая матрица
Получ ур-е
det(M^e,e_A-лямбдE)=0
Это ур-е называют характеристическим уравнением

det(A-лямбдE)=0 покажем что это многочлен
Пусть A,B прин M_nxn
det(A+лямбдB)
Столбцы матр А и B обозн букв A1..An (матр А), а B1..Bn столбцы матр B
det(A+лямбдB)=|A1+лямбдB1...An+лямбдBn|=|A1 A2+лямбдB2...An+лямбдBn|+
+лямбд|B1 A2+лямбдB2...An+лямбдBn|=|A1 A2...|+лямбд|A1 B2...|+
+лямбд|B1 A2...|+лямбд^2|B1 B2|=лямбд^n|B1...Bn|+...+лямбд^i(сумма опред, в которых i столбцов из B)+|A1...An|