Пусть А:L->L лин оператор, и лямбд1,...,лямбдк различ собствен значения оператора А.
V1,..Vk их собственные векторы, тогда векторы V1,..Vk линейнонезависимые
Проведем индукцию по числу к
к=1
лямбд1 т.к. v1 не равно 0, то сист сост из 1 сто
v1 вект лин незав
Пусть она доказ для к, докажем ее для k+1
Предполож противное, что векторы V1,..Vk+1 лин зав
Поскольку вект V1,..Vk - лин незав по предполож индукции=> V1,..Vk выраж как лин комбинация остальных
(1) Vk+1=альфа1V1+...+альфаkVk
Подействуем на это равенство оператором А
(2) АVk+1=альфа1AV1+...+альфаkAVk
(3)лямбдk+1Vk+1=альфа1лямбд1V1+...+альфаkлямбдkVk
1 рав-во умножим на лямбдk+1 и вычтем из 3
0=альфа1(лямбдk+1 - лямбд1)V1+...+альфаk(лямбдk+1 - лямбдk)Vk;
Этого быть не может, т.д. V1...Vk лин незав. Из послед рав-ва следует, что альфа1=альфаk=0, но тогда Vk+1=0
Получили противоречие. доказано