Пусть L -лин пространство и в нем есть 2 подпространства M и N
L есть прямая сумма M и N, если выполняются 2 условия
1)М пересек N ={0}
2)для всех x прин L сущ x1 прин M и сущ x2 прин N:x=x1+x2

Теорема: Пусть L=прямое пересечение M и N, тогда
1)x=x1+x2 x1 и x2 определяются единственным образом
2)Если e1,...,ek базис в M, а f1,...,fr базис в N, то e1,...,ek,f1,...,fr базис в L
Не всегда
3)dim L=dimM+dimN (следствие 2)

1)х=x1+x2=x1'+x2'
x1,x1' прин M
x2,x2' прин N

x1-x1'=x2'-x2 Так как между ними рав-во, то они принадлежат обоим множествам => x1=x1' x2=x2'
2)e1,...,ek базис в M, а f1,...,fr базис в N
1 свойство - лин нез
2 свойсвто - можно разложить по базису
2-ое
x=x1+x2=альфа1e1+...+альфаkek+бета1f1+...+бетаrfr
люб вектор можно разложить по базису
1-ое
Пусть альфа1e1+...+альфаkek+мю1f1+...+мюrfr=0, докажем что все коэфф=0
альфа1e1+...+альфаkek=-мю1f1-...-мюrfr
прин M прин N
обе суммы равны 0, но т.к. это базис они лин незав=> все коэфф=0